ЛЕКЦИЯ 2

Транспортировка сильноточных релятивистских электронов

1. Релятивистские уравнения для электронов.

Прежде чем перейти к основной теме лекции вспомним некоторые соотношения релятивистской механики. Полная энергия электрона E равна сумме энергии покоя и кинетической энергии E_k.

Е = mc² + E_k, (1)

здесь m – масса покоя электрона, а с – скорость света. Если кинетическую E_k энергию электрон получил пролетев от катода до анода, то E_k= eU, где U – напряжение на диоде. В этом случае

Е = mс² + еU. (2)

Релятивистским фактором g называется коэффициент в уравнении

Е = m c² g. (3)

Отсюда из (2) и (3) следует, что

g = 1 + e U /mc². (4)

Для электрона mc² = 511 кэВ, поэтому, если напряжение на диоде равно 511кВ, то g = 2; если 1022кВ, то g = 3. Для нерелятивистских электронов еU << mc² = 511 кэВ и поэтому g » 1.

Другое выражение для g имеет вид

, (5)

где v – скорость электрона.

Из выражения (5) следует, что скорость электрона равна

. (6)

Отсюда получаем, что для электрона с кинетической энергией 511 кэВ, (g = 2), его скорость равна v = с ×Ö0,75 = 0,866 с. Если Е = 1022 кэВ (g = 3), то v = 0,943с. Напомним, что с = 3× 10⁸ м/с. Очевидно, что при g ® ¥, v ® c. Напомним еще важную формулу для импульса электрона

p = m v g. (7)

Если нерелятивистский электрон двигается поперек силовых линий магнитного поля, то он будет вращаться в плоскости перпендикулярной силовой линии магнитного поля с частотой

w_В = = 1,76×10¹¹ В[Тл]. (8)

Здесь В – индукция магнитного поля, измеряемая в теслах.

Релятивистский электрон вращается с частотой

. (9)

Радиус окружности равен

. (10)

Если у электрона есть компонента скорости вдоль силовой линии магнитного поля v₁₁, то электрон будет двигаться по спирали вокруг силовой линии с радиусом по формуле (10) и продольным шагом

. (11)

Пример. Электрон двигается под углом 45⁰ к силовой линии магнитного поля. Пусть g = 2 (Е_к = 511 кэВ), В = 1 Тл. Из (6) получаем v = 0,866 с, v_^ = v_II = 0,61 с. Траектория электрона согласно (10) – спираль с радиусом R = 0,2 cм, шаг спирали в соответствии с (11) равен L_II = 1,25 см. Из этого примера следует, что магнитное поле В = 1 Тл, заставляет двигаться электрон вдоль силовой линии магнитного поля удаляясь от нее не более, чем на 0,2 см.

2. Предельный вакуумный ток

Сильноточный релятивистский электронный пучок формируется в плоском диоде. В СВЧ-электронике используются пучки, которые пролетают через различные вакуумные камеры, выполненные обычно из металла. Простейший способ извлечь пучок из диода заключается в изготовлении анода из тонкой металлической фольги. Например, фольга из титана толщиной 50 мкм для электрона с Е_к = 511кэВ имеет прозрачность около 90%. Электроны, пролетевшие сквозь фольгу, будут двигаться по инерции. На каждый электрон будет действовать сила отталкивания от всех других электронов пучка. Поэтому, пучок начнет расширяться в радиальном направлении. Для того, чтобы пучок сохранял свой поперечный размер, вся система помещается в соленоид. В сильном продольном магнитном поле все электроны двигаются вдоль силовой линии магнитного поля (вдоль оси соленоида) и поперечный размер пучка сохраняется. Как было показано выше величина индукции магнитного поля должна быть ~1 Тл.

Итак, решим задачу. Через левый металлический торец в металлическую трубу радиуса R вдоль оси инжектируется трубчатый электронный пучок с радиусом r_b и толщиной стенки Dr_b << r_b с током I и энергией электронов eU. Электроны распространяются вдоль оси трубы вдоль силовых линий магнитного поля. Величина индукции магнитного поля бесконечна. Требуется найти предельное значение тока пучка, который может распространяться в трубе.

На рисунке 2.1 показаны силовые линии собственного электрического поля электронного пучка. На влёте в трубу на электроны действует тормозящая электроны продольная компонента Е-поля. В средней части трубы поле имеет только радиальную компоненту и скорость электронов не изменяется. На правом торце трубы электроны ускоряются до значения начальной энергии, которую они имели на влёте в трубу.

Физическая причина ограничения тока заключается в том, что электроны, заполнившие трубу, тормозят электроны, которые только что влетели в трубу через левый торец. Если плотность электронов будет настолько велика, что при взлете в трубу создается столь большое электрическое поле, которое способно затормозить электроны до нулевого значения скорости, то это значение плотности электронов будет предельным. Это в свою очередь приведет к ограничению тока транспортируемого через трубу. Для того чтобы рассчитать величину предельного тока необходимо уметь рассчитывать величину продольной компоненты электрического поля Е_z у левого торца трубы. Очевидно, что величина напряженности электрического поля будет пропорциональна плотности электронов, но рассчитать зависимость Е_z(z) достаточно трудно. Обратим внимание на то, что эффект торможения электронов продольным полем можно рассчитать двумя способами, первый ‑ это расчет интеграла , здесь DЕ_k ‑ изменение кинетической энергии электрона. Второй способ оказывается более простым, он основан на использовании уравнения DЕ_k = eU₀ – eФ, где eU₀ –кинетическая энергия электрона на входе в дрейфовую трубу, Ф – потенциал в пучке далеко от левого торца трубы. Потенциал Ф в этой точке легко определить по формуле

, (12)

поскольку в этом месте существует только радиальная компонента электрического поля E_r. Используя теорему Гаусса

или , (13)

получаем формулу для радиальной компоненты электрического поля

, (14)

где Q ‑ заряд единицы длины пучка, а разность потенциала между трубой и пучком согласно с (12) равна:

. (15)

Для сокращения записи обозначим:

. (16)

Тогда уравнение (15) перепишется в виде

. (17)

Теперь запишем закон сохранения энергии электрона. На влете в трубу электрон имеет полную энергию Е = mc² +eU₀ = mc²g₀, вдалеке от торца он имеет полную энергию mc²g + еФ. Таким образом,

mc²g₀ = mc²g + еФ. (18)

Ток пучка равен

I = Qv. (19)

Используем также соотношение (6) для скорости электрона

. (20)

Таким образом, мы имеем 4 уравнения (17, 18, 19, 20) и 5 неизвестных I, Q, Ф, g и v. Это позволяет найти функцию I(Q), при известных параметрах U₀, R и r_b. Эта функция имеет вид

. (21)

Оказывается функция I(Q) имеет максимум при некотором значении Q₀. Параметр Q можно изменять в эксперименте за счёт изменнения величины инжектируемого тока.

Отметим, что при малых значениях Q, поле пространственного заряда мало и наклон кривой I(Q) равен v₀. Скорость электронов v₀ определяется энергией электронов на влете в трубу. Затем увеличение заряда Q приводит к уменьшению скорости электронов и соответственно к замедлению роста тока при увеличении Q. Наконец, при Q = Q₀ добавление заряда не приводит к увеличению тока. Значение тока при Q = Q₀ и есть предельный вакуумный ток.

Найдём значение Q, при котором ток пучка достигает максимального значения. Для этого, пользуясь уравнением (21), найдём производную

. (22)

Из условия , получаем

. (23)

Подставляя это значение Q₀ в уравнение (21) получаем формулу для предельного тока.

. (24)

Формула (24) означает, что трубчатый пучок с током превышающим величину I₀ при заданной начальной энергии электронов и заданной геометрии пучка и трубы распространяться вдоль трубы не может.

3. Магнитоизолированный диод

Пусть на оси металлической трубы радиуса R расположен торец металлического цилиндра радиуса r_катод., который находится под отрицательным потенциалом относительно трубы -U. Пусть также центральный проводник может эмитировать электроны и плотность тока эмиссии неограничена. Оказывается, что в этих условиях при наложении продольного бесконечно большого магнитного поля формируется трубчатый пучок с r_b = r_катод и Dr << r_b. Такая система для формирования трубчатого пучка получила название магнитоизолированный диод. Максимальный ток такого диода ограничен пространственным зарядом. Подчеркнём различие постановки задачи об ограничении тока в магнитоизолированном диоде от постановки задачи о предельном токе. В задаче о предельном токе в дрейфовом пространстве существует только поле пространственного заряда. На влёте в трубу электроны имеют максимальную энергию и поле пространственного заряда их тормозит. В задаче о магнитоизолированном диоде в дрейфовом пространстве в любой точке существует как поле пространственного заряда, так и внешнее электрическое поле. Эта задача сходна с задачей о предельном токе плоского диода. Различие этих задач заключено в геометрии внешнего электрического поля. В плоском диоде внешнее поле в пространстве однородно. В магнитоизолированном диоде внешнее поле неоднородно, что значительно усложняет задачу. Электроны стартуют с катода с нулевой скоростью, затем ускоряются внешним полем. Этому ускорению мешает поле пространственного заряда. Максимальный ток магнитоизолировнного диода определяется формулой:

, где . (25)

При энергиях электронов 0,5 – 1,5 Мэв ток магнитоизолированного диода меньше предельного тока на 30 – 20%.

Как правило, в лампах СВЧ-электроники желательно иметь пучок с малым потенциалом, так как при этом кинетическая энергия электронов близка к максимальному значению еU₀. Поэтому, типичная геометрия эксперимента в СВЧ-электронике имеет вид

В трубе 1 c радиусом R₁ формируется ток I согласно формуле (25). Затем электронный пучок попадает в трубу 2 с меньшим радиусом R₂. Потенциал в пучке в трубе 2 равен

. (26)

При R₂ ® r_b, Ф ® 0, v ® , где g₀ = 1 + eU₀ / mc².

Итак, такая схема действительно позволяет получить электронный пучок в трубе R₂ c кинетической энергией электронов близкой к величине eU₀, т.е. с максимальной энергией.

4. Диагностика РЭП

Напряжение на катоде. Величина напряжения обычно превышает 500 кВ. Измерительным прибором импульса напряжения является осциллограф, на который можно подавать максимальное напряжение ~100 В. Поэтому необходим делитель напряжения. Используются два делителя: резистивный и емкостный. При изготовлении резистивного делителя возникают следующие проблемы. Длина резистора, на котором падает почти полное напряжение должно быть достаточно велика, чтобы не было пробоя по его поверхности. При U = 500 кВ длина резистора должна быть  ~ 50 см, что приводит к проблемам при конструировании сильноточного ускорителя.

При длительностях импульса Т < 100 нс получил широкое распространение емкостный делитель.

Высоковольтный вывод ускорителя всегда выполнен в коаксиальном виде. Между высоковольтным центральным проводником с радиусом r₀, имеющим потенциал катода, и внешней заземлённой трубой радиусом r₂, располагается изолированное кольцо с радиусом r₁ и длиной l. Измеряется напряжение на кольце.

Если конденсатор С₂ не подсоединен к осциллографу, то

. (27)

Заметим, что C₁ << C₂, и поэтому U_C2 << U₀.

Если конденсатор С₂ подсоединен к сопротивлению R, то он будет разряжаться и при t ® ¥ напряжение Uc₂  на конденсаторе С₂ будет равно нулю. Поэтому, для того чтобы делитель в точности воспроизводил форму напряжения на катоде U₀(t) = U_R(t), необходимо RC₂ >> T, где Т длительность импульса. Обычно R равно волновому сопротивлению кабеля (50 или 75 Ом), так как при этом не возникает отражения от этого сопротивления.

Ёмкости конденсаторов C₁ и C₂ соответственно равны:

,, (28)

здесь приведена приближённая формула, чтобы обратить внимание на тот факт, что при r₂ – r₁ << r₂ формула для цилиндрического конденсатора совпадает с формулой для плоского конденсатора. Из (27) и (28) следует, что коэффициент деления равен

(29)

Пример:

Пусть r₁ / r₀ = e, r₂ = 10 см, e = 2,2 (масло), R = 50 Ом, T =100 нс.

Требуется получить коэффициент деления 1000, тогда получаем данные для r₁ из условия (29) 1 / ln r₂/r₁@ = 1000, r₂ – r₁ = 0,1 мм.

Для выполнения условия RC₂ >> T выбираем длину кольца l = 20 см, при этом согласно (28) C₂ = 3 10^-8 Ф и следовательно RC₂ = 1000 нс >>T =100 нс.

Измерение тока пучка

В цепь тока коллектора включается сопротивление R₁.

Рис.2.5.

Сопротивление R₁, должно удовлетворять условию I_b × R₁ << U₀. При нарушении этого условия потенциал на коллекторе будет приводить к дополнительному торможению электронов в дрейфовом пространстве. Кроме того, должно выполняться условие L/R₁ < t_фронта, здесь L – паразитная индуктивность резистора,а t_фронта ‑ длительность фронта импульса. Это условие позволяет передавать форму импульса без искажений. Покажем, что нельзя использовать обычный резистор, который используется в радиотехнике. Пусть ток пучка равен 10 кА и выберем R₁ = 0,1 Ом. При этом условие I_b × R₁ << U₀ выполняется. Однако индуктивность проводника длиной 1 см равна

(30)

Для l = 1 см и d = 0,3 см, получаем L = 3×10^-9 Гн и L/R₁ = 30 нс. Такой шунт можно использовать для импульсов с длительностью значительно превышающей 30 нс.

Существует еще одна проблема при разработке шунта. Необходимо, чтобы сопротивление шунта было одинаково на разных частотах переменного тока. Это позволяет точно передать форму импульса. Известно, что высокочастотный ток протекает по внешнему слою цилиндрического проводника. Толщина этого слоя, называемого скин - слоем, равна:

(31)

где s‑ проводимость материала резистора.

Необходимо, чтобы толщина резистора была меньше толщины скин-слоя, при этом сопротивление резистора не будет зависеть от частоты. Это также позволяет измерять сопротивление шунта на постоянном токе, т.е. обычными измерителями сопротивления.

Пример.

Пусть требуется измерить импульс тока пучка I_b = 10 кА с фронтами 10 нс. Покажем, что предлагаемая ниже конструкция удовлетворяет требованиям перечисленным выше.

Электронный пучок попадает на коллектор, затем ток идет по трубе длиной l = 1 см, диаметром d = 50 мм, выполненный из тонкой металлической фольги (нержавеющая сталь), с удельным сопротивлением r = 7,5 ×10^-7 Ом ×м, с толщиной D = 5 мкм, с сопротивлением R₁ и затем возвращается по трубе с диаметром D = 51 мм. Измеряется напряжение на сопротивлении R₁.

Напряжение на шунте равно I_b R₁ = 96 В, т.е. условие I_b × R₁ << U₀ выполняется.

Толщина скин-слоя для частоты w =2p / 40 ×10^-9 для нержавеющей стали с проводимостью s = 1,33 ×10⁶ (Ом м)^-1 равна 95 мкм, т.е. она больше толщины фольги D = 5 мкм.

Индуктивность шунта равна

Гн

Вычислим L/R₁ = 4 ×10^-9, т.е. условие L/R₁ < t_фронта =10 нс также выполняется.

Измерение радиального профиля пучка

Для измерения профиля тока по радиусу используют секционированный коллектор. Принимается несколько сигналов с разных участков коллектора, что позволяет определить j_b(r). Подробно эти методы обсуждать не будем.

Для юстировки пучка, например, для установки соосности пучка и трубы применяют метод мишеней. Практически все релятивистские сильноточные пучки составляют след на мишени. Рассмотрим пример.

Пусть E = 500 кэВ, I_b = 2 кА, Dt = 50 нс, площадь сечения пучка S = 1 см², тогда энергия запасённая в пучке равна W = 5 ×10⁵ эВ×10³ А×5 ×10^-8с = 50 Дж. 50 Дж » 12 кал, т.е. это количество тепла способное нагреть 1 г воды на DT = 12 градусов. Электроны пролетают в мишени из железа D = 0,01 см, т.е. пучок разогревает массу r ×S ×D = 7,8 г/см³ ×1 см² ×0,01 см = 0,078 г. Теплоемкость железа с = 0,1 кал / г ×град, отсюда следует, что DT = Q/mc = 1550 град.

Таким образом, действительно достигается температура плавления железа.

В этом расчете предполагалось, что тепло не успевает выйти из слоя, в котором оно поглощено. Покажем, что это имеет место при длительности импульса в десятки наносекунд. Количество тепла прошедшее через площадь S за время Dt при градиенте температур DT / Dx:

Q = k ×S ×DT / Dx ×Dt = 0,19 ×1 ×1550 / 0,01 ×50 ×10^-9 = 1,5 ×10^-3 кал,

где k = 0,19 кал / cм ×с ×град коэффициент теплопроводности нержавеющей стали. Число 1,5×10^-3 < 12, т.е. действительно тепло из слоя ~ 0,01 см не успевает уйти за время 50 нс.

Пробег электрона с энергией 500 кэВ в графите ~ 0,1 см и температура кипения 4200 ⁰С, поэтому на графите пучок, как правило, следов не оставляет. Поэтому коллектор тока пучка обычно изготавливают из графита.

Экспериментально также измеряется разброс скоростей электронов по углу. Но эти методики мы здесь рассматривать не будем.